每日一题

导引：鸽了三天的每日一题hhhh，今天补（冲！😄😄😄

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3.30日（斯特林公式）

求极限:

\[ \lim_{x \rightarrow 0}\sqrt[n+1]{(n+1)!}-\sqrt[n]{n!}\]

提示：斯特林公式，另外要灵活运用定积分的定义

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3.31日（导数概念的理解）

$要先明白 f'_+(x_0) 以及 f'(x_0^+) 是什么意思。\\ f'_+(x_0) 表示的是 f（x）在 x_0 点处的右导数，即用导数定义推得。\\ f'_+(x_0) =\lim_{x\rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\\ f'(x_0^+) 表示求出导函数的表达式，并且求在 x_0 点处的右极限。\\ 即 f'(x_0^+)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x_0)\\ 这是两个不同的概念\\ f'(x_0^+) 中既然求出了表达式，那就说明 f(x) 在(x_0,x_0+\delta) 这个区间上每一点都可导\\ 而 f'_+(x_0) 只表示的是在该点处的导数值。\\ f'_+(x_0) 与 f'(x_0^+) 的值可能都存在，也可能有一个不存在。可能相同也可能不相同。$

给出两个实际的例题吧。

1.函数

\begin{eqnarray} y = \begin{cases} arctan\frac{1}{x}\qquad x\not=0\\ 0\qquad x=0 \end{cases} \end{eqnarray}

$求 f'_+(0) 以及 f'(0^+)$

函数

\begin{eqnarray} y = \begin{cases} x^2sin\frac{1}{x}\qquad x \not= 0\\ 0\qquad x=0 \end{cases} \end{eqnarray}

$求f'_+(0) 以及 f'(0^+).$

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求$y=\sqrt[3]{\sqrt{x^2+1}+x}+\sqrt[3]{\sqrt{x^2+1}-x}$
解答：
令$\sqrt{x^2+1}+x=a，\sqrt{x^2+1}-x=b$
则$a+b=2x,ab=-1$
原式平方得：
$y^2=a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}+2\sqrt[\frac{1}{3}]{ab}$

\begin{equation}求y=\sqrt[3]{\sqrt{x^2+1}+x}+\sqrt[3]{\sqrt{x^2+1}-x}\end{equation}

$解答：求y=\sqrt[3]{\sqrt{x^2+1}+x}+\sqrt[3]{\sqrt{x^2+1}-x}\\解答：\\令\sqrt{x^2+1}+x=a，\sqrt{x^2+1}-x=b\\则a+b=2x,ab=-1\\原式平方得：\\y^2=a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}+2\sqrt[\frac{1}{3}]{ab}\\$

上题

求证：\begin{align}& 1.(1+x_1)(1+x_2)···(1+x_n)\ge1+x_1+x_2+···x_n,其中x_1，x_2，···x_n是等号相同且大于-1的数\\ & 2. 若x>-1，则不等式(1+x)^n\ge1+nx\end{align}

提示：利用数学归纳法证明，上述两个式子就叫做伯努利不等式

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4.2日

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答案

答案1

\begin{align} & = \lim_{x \rightarrow 0}\sqrt[n]{n!}[\displaystyle e^ {\frac{ln(n+1)!}{n+1}-\frac{lnn!}{n}}-1]\\ & = \lim_{x \rightarrow 0}\sqrt[n]{n!}[\frac{ln(n+1)!}{n+1}-\frac{lnn!}{n}]\\ & = \lim_{x \rightarrow 0}\sqrt[n]{n!}\frac{nln(n+1)!-(n+1)lnn!}{n(n+1)}\\ & = \lim_{x \rightarrow 0}\sqrt[n]{n!}\frac{nln(n+1)-lnn!}{n(n+1)}\\ & = \lim_{x \rightarrow 0}\sqrt[n]{n!}\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}ln\frac{n+1}{k}}{n(n+1)}\\ & = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=1}^{n}ln\frac{n+1}{k}\\ & =\frac{-1}{e}\int_{0}^{1}lnx\mathrm{d}x\\ & = \frac{1}{e} \end{align}

斯特林公式

\begin{align} \displaystyle \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} & = e^{\frac{lnn!}{n}-lnn}\\ & =\displaystyle e^{\frac{lnn!}{n}-lnn}\\ & = \displaystyle e^{\frac{lnn!-nlnn}{n}}\\ & = \displaystyle e^{\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}ln\frac{k}{n}}\\ & =\displaystyle e^{\int_{0}^{1}lnx\mathrm{d}x}\\ & = \frac{1}{e} \end{align}

答案2

1. 解：

\begin{align} f'_+(0) & = \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ & = \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{arctan\frac{1}{x}}{x}\\ & = +\infty\\ f'(0^+) & = \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{-1}{1+x^2}\\ & = -1 \end{align}

2. 解：

\begin{align} f'_+(0) & = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ & = \lim_{x \rightarrow 0+}xsin\frac{1}{x}\\ & = 0\\ f'(0^+) & = \lim_{x \rightarrow 0+}(2xsin\frac{1}{x}-cos\frac{1}{x})\\ & = \lim_{x \rightarrow 0+}-cos\frac{1}{x}\\ & \quad 极限值不存在 \end{align}

那么在什么情况下，这两个表示的是一样呢？

若函数f(x)在[x_0,x_0+δ]上连续，在(x_0,x_0+δ)可导,且 \[\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A\]，那么函数f(x)在该点 x_0 处右可导, 且\[f'_+(x_0)=\lim_{x \rightarrow x_0}f'(x)=A=f'(x_0^+)\]

答案3

 解1:用数学归纳法: \begin{align} & 当n=1时，1+x_1=1+x_1，恒成立\\ & 当n\ge1时，假设该不等式用于n=k成立，则\\ & (1+x_1)(1+x_2)···(1+x_k)\ge1+x_1+x_2+···x_k\\ & 当n=k+1时\\ & 由于x_1，x_2，···x_n是符号相同且大于-1的数，因此(x_2+x_3+···x_k)x_k+1大于0\\ &(1+x_1)(1+x_2)···(1+x_k)(1+x_k+1)\ge1+x_1+x_2+···x_k+1+(x_2+x_3+···x_k)x_k+1\ge1+x_1+x_2+···x_k+1​\end{align}

答案4