数模层次分析法及理解

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主要用于解决评价类问题，例如选择哪种方法最好，哪个项目最优等

1. 所包含内容的权重和为1

2. 每一个指标权重相乘比较（算期望）

按照如上格式写出指标（各项依据所占的百分比）与方案（要选择的内容）。其中指标权重总和为1（指标权重列），某一指标下的所有方案占比总和为1 。

1. 凡出现确定评价指标，形成评价体系等话语，即可以归结为评价类问题，看到评价类问题要抽象出以下两点：

• 评价的目标是什么?(要达成什么样的目的)
• 为了达到这个目标有哪几种可选方案？
• 评价的指标是什么？（评判依据是什么，通过背景材料，常识，以及网上搜集到的参考资料结合筛选最合适的指标。可从知网上搜索等。）

4. 确定指标权重时，一次性考虑所有因素往往会顾此失彼考虑不周，此时选择先两两指标比较，最后根据两两比较的结果来推算出权重。“分而治之”

• 可用重要程度1-9标号来确定指标占比（确定权重）

• 	指标1	指标2	指标3	指标4
  指标1	1	2	1/4	3
  指标2	1/2	1	1/8	1.5
  指标3	4	8	1	12
  指标4	1/3	2/3	1/12	1

如上图例子，为4×4方阵，记作A，对应元素$a_{ij}$

• $a_{ij}$的意思是，与指标 j 相比，i 的重要程度
• 当 i = j 时，两个指标相同，因此同等重要极为1 ，这就解释了主对角线元素为1
• $a_{ij}>0$ 且满足$a_{ij}×a_{ji}=1$ （称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵（判断矩阵））

5. 一致矩阵

若矩阵一致，则$a_{ij}=\frac{i的重要程度}{j的重要程度}$，$a_{jk}=\frac{j的重要程度}{k的重要程度}$，那么按理说，$a_{ik}=\frac{i的重要程度}{k的重要程度}=a_{ij}×a_{jk}$。

只要满足各行（各列）成倍数关系，且是正互反矩阵，可以称之为一致矩阵。

注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验，及判断其是否是一致矩阵

6. 一致性检验的步骤

• 计算一致性指标CI

​ $CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}$

• 查找对应的平均随机一致性指标RI

• n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
  RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1.49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

  注：在实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立二级指标体系。

• 计算一致性比例CR

​ $CR=\frac{CI}{RI}$

如果CR<0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要对判断矩阵进行修正。

7. 一致矩阵计算权重

方法一：算术平均法求权重

a. 将判断矩阵按照列归一化，每个元素除以所在列的和，此时列顶指标就是比对的因素。

b. 将归一化的各列相加，按行求和

c. 将相加后得到的向量中每个元素除以n既可得到权重向量

假设判断矩阵A=[a11 a12 ... a1n \enter a21 a22 \enter. ... ann]

那么算术平均法求得的权重向量(i=1,2....n)

​ $\omega_i=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^{n}a_{kj}}$

方法二：几何平均法求权重

a. 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

b. 将新的向量的每个分量开n次方

c. 对该列向量进行归一化即可得到权重向量

那么几何平均法求得的权重向量

​ $\omega_i = \frac{(\prod_{j=1}^{n}a_{ij})^\frac{1}{n}}{\sum_{k=1}^{n}(\prod_{j=1}^{n}a_{ij})^\frac{1}{n}}$

方法三：特征值法求权重

一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0，另外当特征值为n时，对应的特征向量刚好为$k[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}},...,\frac{1}{a_{1n}}]^{T}$,这个特征向量刚好就是一致矩阵的第一列。